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벡터의 덧셈·스칼라 곱·길이를 계산하고, 위치 차이와 단위 방향을 구분합니다.
a = (3, 4), b = (-1, 2)
a + b = (2, 6)
2a = (6, 8)
|a| = √(3² + 4²) = 5
normalize(a) = a / |a| = (0.6, 0.8) [a ≠ 0]내적과 외적을 성분으로 계산하고, 각도·투영·수직 방향·면적의 의미를 구분합니다.
기저의 독립성과 생성 범위를 구분하고, 같은 벡터의 좌표가 기준에 따라 달라지는 이유를 계산합니다.
b₁=(1,0), b₂=(1,1), x=(3,2)
x = 1b₁ + 2b₂
= (1,0) + (2,2) = (3,2)
표준 기저에서의 좌표: (3,2)
B=(b₁,b₂)에서의 좌표: [x]B=(1,2)행렬 곱의 크기 조건과 행·열 계산을 익히고, 곱 순서가 결과를 바꾸는 이유를 숫자로 확인합니다.
A = [ 1 2 ] x = [ 3 ]
[ 0 1 ] [ 4 ]
Ax = [ 1×3 + 2×4 ] = [ 11 ]
[ 0×3 + 1×4 ] [ 4 ]선형성의 두 조건으로 변환을 판별하고, 이동이 포함된 아핀 변환을 동차좌표로 표현합니다.
선형성: T(αu + βv) = αT(u) + βT(v)
선형변환: T(x) = Ax
아핀 변환: F(x) = Ax + t
선형변환은 T(0)=0
t≠0인 평행이동은 F(0)=t이므로 원래 공간에서 선형이 아님역행렬의 양방향 조건과 2×2 계산을 익히고, 특이행렬·정밀도·전치의 차이를 구분합니다.
A = [ a b ], det(A) = ad - bc
[ c d ]
det(A) ≠ 0일 때
A⁻¹ = 1/(ad-bc) [ d -b ]
[ -c a ]길이·각도를 보존하는 변환을 회전과 반사로 나누고, 2차원 행렬과 3차원 Rodrigues 공식을 유도합니다.
2D 회전: R(θ) = [ cosθ -sinθ ]
[ sinθ cosθ ]
단위 법선 n의 원점을 지나는 선/평면에 대한 반사:
H = I - 2nnᵀ세 축 회전의 순서를 행렬로 고정하고, 짐벌락에서 각도의 자유도가 겹치는 이유와 각도 복원의 경계를 설명합니다.
R = Rz(γ) Ry(β) Rx(α)
v′ = Rv : 오른쪽 Rx부터 적용
α: 고정 x축 회전, β: 고정 y축 회전, γ: 고정 z축 회전
이 규약의 짐벌락: β=±90°에서 두 각도의 효과가 겹침단위 쿼터니언의 반각·Hamilton 곱으로 벡터를 회전하고, 합성 순서·행렬 변환·부호 중복을 설명합니다.
단위 축 u, 회전각 θ:
q = (cos(θ/2), u sin(θ/2))
‖q‖² = w²+x²+y²+z² = 1
벡터 v의 회전: (0,v′) = q (0,v) q⁻¹
q₁ 다음 q₂ 적용: q합성 = q₂ q₁
항등 회전: (1,0,0,0)
q와 -q는 같은 회전두 자세 사이의 SLERP를 유도하고, Lerp·Nlerp와의 차이, 최단 경로 부호 선택, 근접 입력과 시간 처리를 설명합니다.
행 연산으로 해를 보존하며 연립방정식을 풀고, 유일해·무한해·해 없음의 조건을 구분합니다.
x + y = 3 [ 1 1 | 3 ]
2x - y = 0 → [ 2 -1 | 0 ]
R₂ ← R₂ - 2R₁ → [ 1 1 | 3 ]
[ 0 -3 | -6 ]
R₂ ← R₂/(-3) → y=2
R₁ ← R₁-R₂ → x=1벡터 조합이 만들 수 있는 범위와 계수의 유일성을 분리하고, 중복 방향을 식으로 찾습니다.
v₁=(1,0,1), v₂=(0,1,1), v₃=(1,1,2)
v₃ = v₁ + v₂
v₁ + v₂ - v₃ = 0 → 모두 0이 아닌 계수 관계가 있으므로 종속
span(v₁,v₂,v₃) = {(x,y,z) : z=x+y}행렬이 만들 수 있는 출력과 사라지는 입력 방향을 구분하고 계수-영차원 관계를 계산합니다.
A = [ 1 0 1 ]
[ 0 1 1 ]
A(x,y,z) = (x+z, y+z)
rank(A) = 2
null(A) = span{(-1,-1,1)}, nullity(A)=1
2 + 1 = 3 [입력 차원]소거 과정을 L과 U에 저장하고, 행 교환과 두 번의 삼각 풀이로 여러 우변을 처리합니다.
PA = LU, Ax=b
1. A를 한 번 분해해 P, L, U 준비
2. Ly=Pb를 앞에서부터 풀이
3. Ux=y를 뒤에서부터 풀이서로 수직인 단위 축을 만들고, 투영 제거와 정규화의 순서 및 QR과의 관계를 설명합니다.
u₁ = a₁, q₁ = u₁ / ‖u₁‖
u₂ = a₂ - (q₁·a₂)q₁
q₂ = u₂ / ‖u₂‖
분모가 0이면 새 독립 방향을 얻지 못한 것이므로 정규화하지 않음직선·평면·부분공간으로의 가장 가까운 점을 구하고, 투영 행렬과 잔차의 직교성을 연결합니다.
법선 n=(1,1,1), 평면 x+y+z=0, b=(2,0,1)
p = b - ((b·n)/(n·n))n
= (2,0,1) - (1,1,1)
= (1,-1,0)정확한 해가 없는 선형계에서 오차 제곱합을 최소화하고, 정규방정식·잔차·QR의 역할을 구분합니다.
관측점: (0,0), (1,2), (2,2)
모델: y ≈ c + mt
최소제곱 해: c=1/3, m=1
예측값: (1/3, 4/3, 7/3)
잔차: (-1/3, 2/3, -1/3)접선과 법선의 수직 관계에서 역전치를 유도하고, 비균일 스케일·평면 식·반사와 특이변환의 조건을 구분합니다.
원래: nᵀt=0
n′=(A⁻¹)ᵀn, t′=At
n′ᵀt′ = nᵀA⁻¹At = nᵀt = 0행렬식을 부호 있는 크기 변화로 읽고, 가역성·행 연산·수치 안정성의 차이를 구분합니다.
A = [ 2 1 ] det(A) = 2×3 - 1×0 = 6
[ 0 3 ]
단위 정사각형 → 넓이 6인 평행사변형
열 순서를 바꾸면 det=-6, 넓이는 여전히 6Av=λv를 만족하는 방향을 찾고, 고유값의 크기·부호·0과 실수 해의 경계를 읽습니다.
A = [ 2 1 ]
[ 1 2 ]
A(1,1) = (3,3) = 3(1,1) → λ=3
A(1,-1) = (1,-1) = 1(1,-1) → λ=1독립인 고유기저로 행렬을 대각 형태로 표현하고, 거듭제곱을 계산하며 대각화 불가 조건을 구분합니다.
A = [ 2 1 ] P = [ 1 1 ] D = [ 3 0 ]
[ 1 2 ] [ 1 -1 ] [ 0 1 ]
A = PDP⁻¹
Aᵏ = PDᵏP⁻¹ (k는 양의 정수)대칭성이 고유값과 고유벡터에 주는 조건을 설명하고, 주축 좌표에서 변환을 계산합니다.
A = [ 3 1 ] Q = 1/√2 [ 1 1 ] Λ = [ 4 0 ]
[ 1 3 ] [ 1 -1 ] [ 0 2 ]
QᵀQ=I, A=QΛQᵀ복소수 곱셈과 켤레전치에서 출발해 회전 행렬의 고유값, 켤레쌍과 실수 불변평면을 해석합니다.
(α+iβ)(x+iy) = (αx-βy) + i(βx+αy)
실수 좌표의 행렬: [ α -β ]
[ β α ]
90° 회전 R = [ 0 -1 ] → 고유값 i와 -i
[ 1 0 ]벡터의 좌표 변경에서 선형변환의 행렬 변경으로 확장하고, 입력·출력 기저와 닮음의 조건을 구분합니다.
새 입력 좌표 → P → 표준 입력 → A → 표준 출력 → P⁻¹ → 새 출력 좌표
[x]B ───────────────────────────────────────────────→ [Ax]B
A_B직사각행렬을 직교 축과 크기 변화로 분해하고, 계수·낮은 계수 근사·최소제곱 해를 연결합니다.
입력 x → Vᵀx → 축별 크기 변경 Σ → U → 출력 Ax
특이값 σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0
계수 = 0이 아닌 특이값 개수 [정확한 수학 기준]문제의 민감도와 알고리즘의 오차를 구분하고, 특이값·단위·역변환의 영향을 숫자로 설명합니다.
정사각 가역 A의 2-노름 조건수
κ₂(A) = ‖A‖₂ ‖A⁻¹‖₂ = σmax / σmin
κ₂(A) ≈ 1 → 방향별 크기 비가 비슷함
κ₂(A)가 큼 → 일부 방향의 정보가 상대적으로 심하게 눌림이차형식의 부호로 최소점과 유일성을 판단하고, 대칭 양의 정부호 선형계를 Cholesky로 풉니다.
점들을 섞을 때 계수 합이 1이어야 하는 이유와 Lerp의 보간·외삽·시간 매개변수를 설명합니다.
Lerp(A,B,t) = A + t(B-A)
A=(1,2), B=(5,4)
t=0 → (1,2)
t=0.25 → (2,2.5)
t=1 → (5,4)
t=1.5 → (7,5) : 외삽삼각형 안의 점을 세 꼭짓점의 가중치로 표현하고, 내부 판정·속성 보간·원근 보정에 적용합니다.
P = λA A + λB B + λC C
λA + λB + λC = 1
A=(0,0), B=(4,0), C=(0,2), P=(1,0.5)
(λA,λB,λC) = (0.5,0.25,0.25)광선의 매개변수로 평면 교차점을 구하고, 무게중심좌표로 삼각형 내부와 평행·후방·퇴화 조건을 판정합니다.
광선: P(t)=o+td, t≥0
평면: n·(P-a)=0
n·d≠0이면 t=(n·(a-o))/(n·d)
t가 허용 구간 안인지 검사
→ P=o+td
→ 삼각형의 무게중심좌표를 계산
→ 세 가중치가 모두 0 이상이면 경계를 포함해 교차