v₁=(1,0,1), v₂=(0,1,1), v₃=(1,1,2)

v₃ = v₁ + v₂
v₁ + v₂ - v₃ = 0  → 모두 0이 아닌 계수 관계가 있으므로 종속

span(v₁,v₂,v₃) = {(x,y,z) : z=x+y}

생성할 수 있는 벡터

span은 주어진 벡터의 모든 실수 선형결합의 집합입니다. 예제에서는 av₁+bv₂=(a,b,a+b)이므로 z=x+y를 만족하는 원점을 지나는 평면을 만듭니다. v₃를 더해도 같은 평면 안의 조합이므로 범위가 넓어지지 않습니다.

b=(2,3,5)는 2v₁+3v₂로 만들 수 있습니다. c=(2,3,6)은 z=x+y를 만족하지 않아 만들 수 없습니다. “벡터 세 개가 모두 3차원이므로 공간 전체를 만든다”는 판정은 틀립니다.

계수가 여러 개일 때

(2,3,5) = 2v₁ + 3v₂
        = 1v₁ + 2v₂ + 1v₃
        = (2-t)v₁ + (3-t)v₂ + tv₃

t를 바꾸어도 결과는 같습니다. 생성 공간은 유지되지만 좌표 계수는 유일하지 않습니다. 두 벡터 v₁, v₂만 고르면 이 평면의 기저가 되고, 그 두 벡터로 표현하는 계수는 유일합니다.

선형독립 여부는 c₁v₁+…+cₖvₖ=0을 만족하는 계수가 모두 0인 경우뿐인지 확인합니다. 영벡터가 묶음에 포함되면 그 벡터의 계수만 바꿔도 0을 만들 수 있어 종속입니다.

행렬로 판정

벡터를 열로 모은 A에서 Ac=0을 풉니다. 자유변수가 있으면 0이 아닌 해가 있어 열들이 종속입니다. 모든 열에 피벗이 있으면 독립입니다. 같은 A에서 Ax=b를 풀 수 있는지는 b가 열들의 생성 공간에 속하는지 묻는 별도 문제입니다.

0이 아닌 두 벡터는 평행하지 않을 때 서로 독립이지만, 여러 벡터의 독립성을 모든 쌍의 평행 여부만으로 판정할 수는 없습니다. 위 세 벡터 v₁, v₂, v₃는 서로 어떤 쌍도 평행하지 않지만 셋은 종속입니다.

기저·제약·실패 조건

n차원 공간에서 n개보다 많은 벡터는 독립일 수 없습니다. 반대로 n개보다 적은 벡터가 독립인 경우에도 공간 전체를 생성하지는 못합니다. 목표 공간이 부분공간인지 전체 공간인지 먼저 정합니다.

거의 종속인 벡터는 정확한 수학에서는 독립이어도 컴퓨터 계산에서 좌표가 민감하게 변할 수 있습니다. 카메라 축을 만드는 두 방향이 거의 평행할 때 정규화만 반복하는 것으로 문제를 해결하지 못하는 이유입니다. 정규직교 기저에서 실제 축을 만드는 과정과 실패 조건을 이어서 봅니다.