A = [ 2  1 ]      P = [ 1  1 ]      D = [ 3  0 ]
    [ 1  2 ]          [ 1 -1 ]          [ 0  1 ]

A = PDP⁻¹
Aᵏ = PDᵏP⁻¹   (k는 양의 정수)

고유기저에 좌표 옮기기

P의 열은 각각 λ=3과 λ=1의 고유벡터입니다. 따라서 AP=PD이고, P가 가역이면 양변에 P⁻¹를 곱해 대각화 식을 얻습니다. D의 고유값 순서는 P의 열 순서와 맞춰야 합니다.

P⁻¹ = 1/2 [ 1  1 ]
          [ 1 -1 ]

x₀=(2,0) = 1(1,1) + 1(1,-1)

Ax₀  = 3(1,1) + 1(1,-1) = (4,2)
A²x₀ = 9(1,1) + 1(1,-1) = (10,8)

매번 원래 행렬을 반복 곱하는 대신 기저 좌표에서 두 성분에 각각 3ᵏ와 1ᵏ를 적용합니다. 수학적 분해가 있어도 실제 큰 거듭제곱의 overflow·반올림 문제까지 자동으로 해결되는 것은 아닙니다.

언제 가능한가

n개의 서로 다른 실수 고유값이 있으면 대응 고유벡터들이 독립이므로 실수 대각화가 가능합니다. 충분조건이지 필요조건은 아닙니다. 단위행렬은 같은 고유값 1만 반복되지만 모든 방향을 고유벡터로 사용할 수 있습니다.

고유값이 중복될 때는 특성방정식에서의 중복 횟수만 세지 말고 독립인 고유벡터를 실제로 확보해야 합니다. 실수 대각화를 다룰 때는 실수 고유기저가 존재하는지도 확인합니다.

고유값만으로 부족한 예

J = [ 1  1 ]
    [ 0  1 ]

(J−I)v=0 → y=0
고유공간은 span{(1,0)}뿐 → 독립인 두 고유벡터가 없음

Jᵏ = [ 1  k ]
     [ 0  1 ]

두 고유값이 모두 1이어도 J가 단위행렬처럼 동작하지 않습니다. 고유기저가 부족해 대각화할 수 없는 경우이며, 반복 시 기울임 성분이 커집니다. 고유값 목록만 보고 모든 반복 변환을 판정하는 실수를 피합니다.

직교 대각화와 연결

실수 대칭행렬은 정규직교 고유벡터를 선택할 수 있어 A=QDQᵀ로 표현됩니다. 위 A도 P의 두 열을 각각 √2로 나누면 그런 Q가 됩니다. 일반 가역 P의 역행렬을 무조건 Pᵀ로 바꾸지 않습니다.

분해는 같은 선형변환을 더 편한 기저에서 표현하는 방식입니다. 기저변환과 닮음에서 좌표가 바뀌어도 고유값·행렬식이 유지되는 관계를 확인할 수 있습니다. 직사각행렬의 분해는 SVD를 사용합니다.

정규직교 고유기저가 존재하는 조건과 중복 고유값의 선택은 대칭행렬, 켤레 고유값을 실수 평면으로 읽는 방법은 복소수 고유값에서 다룹니다.