(α+iβ)(x+iy) = (αx-βy) + i(βx+αy)

실수 좌표의 행렬: [ α -β ]
                   [ β  α ]

90° 회전 R = [ 0 -1 ] → 고유값 i와 -i
             [ 1  0 ]

복소수와 길이

z=a+ib의 켤레는 a−ib이고, 길이는 √(a²+b²)입니다. z를 켤레와 곱하면 길이의 제곱을 얻습니다. ρ(cosθ+i sinθ)를 곱하는 것은 복소평면에서 길이를 ρ배 하고 각도를 θ만큼 더하는 연산입니다.

(1+i)(1-i)=2
(1+i)²=2i

i(x+iy)=-y+ix → (x,y)를 (-y,x)로 회전

이 해석은 복소수를 (실수부, 허수부)의 정규직교 실수 좌표로 놓았을 때입니다. 복소수 고유기저의 좌표와 원래 실수 공간의 길이 규약을 무조건 동일시하지 않습니다.

회전 행렬의 고유벡터

R의 특성방정식은 λ²+1=0입니다. 실수 고유값은 없지만 복소수 범위에서는 다음을 얻습니다.

λ=i,  v=(1,-i)
Rv=(i,1)=iv

λ=-i, w=(1,i)
Rw=(-i,1)=(-i)w

v는 실수 평면 위의 한 방향 화살표가 아닙니다. 실수 고유벡터가 없다는 사실은 계산 실패가 아니라, 90° 회전이 어떤 실수 직선 방향도 그대로 유지하지 않는다는 성질입니다.

실수 A에서 Av=λv이면 켤레를 취해 A v̄=λ̄ v̄를 얻습니다. 따라서 비실수 고유값은 켤레쌍으로 나타납니다. A 자체가 복소수 행렬이면 이 결론을 그대로 보장할 수 없습니다.

켤레쌍을 실수 평면으로 읽기

λ=α+iβ, β≠0이고 v=p+iq라고 두면 다음 두 실수 관계를 얻습니다.

Ap = αp - βq
Aq = βp + αq

실수 A와 β≠0인 고유값의 이 경우에는 p와 q가 실수 벡터로서 독립입니다. 이들이 만드는 실수 평면은 A를 적용해도 그 평면 안에 남습니다. 기저를 [p,-q]로 선택하면 그 평면에서의 좌표 행렬은 [[α,-β],[β,α]]입니다. [p,q]를 선택하면 β의 부호 배치가 달라지므로 두 표기를 섞지 않습니다.

이 기저는 일반적으로 정규직교가 아닙니다. 따라서 좌표 블록의 모양만 보고 원래 유클리드 길이가 언제나 |λ|배가 된다고 결론 내리지 않습니다.

A = [ 0  -2 ]      고유값은 i와 -i
    [ 1/2 0 ]

Ae₁=(0,1/2), Ae₂=(-2,0)
고유값의 절댓값은 1이지만 두 입력 축의 길이 변화는 다름

실제 방향별 늘어남은 특이값으로 확인합니다.

켤레전치와 복소수 내적

복소수 벡터의 길이는 단순 전치가 아니라 켤레전치로 정의합니다. 기호 H 또는 *를 사용하며 Aᴴ는 각 성분을 켤레로 바꾼 뒤 전치한 행렬입니다.

u=(1,i)
uᵀu=1+i²=0             → 길이 제곱으로 부적절
uᴴu=1+(-i)i=2          → ‖u‖=√2

복소수 내적은 uᴴv를 사용합니다. 실수 대칭행렬에 대응하는 조건은 에르미트 Aᴴ=A이고, 직교행렬에 대응하는 복소 정사각행렬의 유니터리 조건은 QᴴQ=I입니다. 실수 공식의 모든 전치를 조건 없이 그대로 가져오지 않습니다.

복소수 고유값은 회전·진동의 수학적 표현에 유용합니다. 그래픽스 API가 복소수 고유벡터를 곧바로 정점 위치로 받는다는 뜻은 아니며, 실제 변환은 실수 행렬이나 필요한 수치 자료로 구성합니다.