A = [ 3  1 ]      Q = 1/√2 [ 1  1 ]      Λ = [ 4 0 ]
    [ 1  3 ]              [ 1 -1 ]          [ 0 2 ]

QᵀQ=I,  A=QΛQᵀ

대칭성과 고유방향

대칭행렬은 대각선을 기준으로 맞은편 성분이 같습니다. n×n 실수 행렬에 대한 스펙트럴 정리는 모든 고유값이 실수이고 공간 전체를 채우는 정규직교 고유기저를 선택할 수 있음을 보장합니다.

서로 다른 고유값의 고유벡터 v와 w가 수직인 이유는 다음과 같습니다. 여기서 vᵀw는 내적이고 λ≠μ입니다.

Av=λv, Aw=μw, Aᵀ=A

λ(vᵀw) = (Av)ᵀw
         = vᵀAw
         = μ(vᵀw)

(λ-μ)(vᵀw)=0 → vᵀw=0

같은 고유값에 속한 임의의 벡터 두 개가 자동으로 수직인 것은 아닙니다. 예를 들어 I₂의 (1,0)과 (1,1)은 모두 고유값 1의 고유벡터지만 수직이 아닙니다. 그 고유공간 안에서 직교화해 정규직교 기저를 선택할 수 있다는 뜻입니다.

주축 좌표로 계산

Q의 열은 (1,1)/√2, (1,-1)/√2이며 순서대로 고유값 4와 2에 대응합니다. 숫자 4와 2는 각각의 축에 적용하는 배율입니다.

x=(2,0)
y=Qᵀx=(√2,√2)
Λy=(4√2,2√2)
QΛy=(6,2)=Ax

Qᵀ는 기존 좌표를 고유기저 좌표로 옮기고, Λ는 축별로 크기를 바꾸며, Q가 결과를 원래 좌표로 돌립니다. 일반 대각화의 P⁻¹가 Qᵀ로 단순해지는 이유는 Q가 정규직교이기 때문입니다.

이차형식과 부호

대칭행렬의 이차형식은 xᵀAx=yᵀΛy=Σ λᵢyᵢ²로 볼 수 있습니다. 각 고유축의 기여가 분리되어 양수·음수 방향을 읽기 쉽습니다. 위 x에서는 xᵀAx=12이고 고유좌표에서도 4×2+2×2=12입니다.

대칭행렬 diag(1,-1)은 실수 고유값과 정규직교 기저를 갖지만, (1,0)에서는 이차형식이 양수이고 (0,1)에서는 음수입니다. 따라서 대칭성과 양의 정부호는 별개의 조건입니다.

일반 행렬과의 경계

실수 고유값을 가진 일반 행렬이 모두 직교 대각화되는 것은 아닙니다. [[1,1],[0,2]]의 고유벡터 (1,0)과 (1,1)은 수직이 아닙니다. 실수 대각 Λ에 대해 A=QΛQᵀ로 쓸 수 있다면 A는 대칭이라는 역방향도 성립합니다.

고유값이 중복되거나 거의 같으면 선택한 고유벡터의 부호·방향이 작은 변화에도 달라질 수 있습니다. 행렬의 결과가 비슷한 것과 고유벡터 좌표가 항상 일정한 것은 구분합니다.

그래픽스의 공분산·주축 분석이나 에너지 모델에서 이 구조가 나타납니다. 특정 객체의 좌표 축이나 회전 방향을 고유벡터의 출력 순서에 무조건 맞추지 말고, 축 선택·부호·시간적 연속성에 필요한 규칙을 별도로 정합니다.