A = [ 2  1 ]      det(A) = 2×3 - 1×0 = 6
    [ 0  3 ]

단위 정사각형 → 넓이 6인 평행사변형
열 순서를 바꾸면 det=-6, 넓이는 여전히 6

열이 만드는 도형

A의 두 열은 표준 기저 (1,0)과 (0,1)을 보낸 결과입니다. 예제에서는 (2,0)과 (1,3)이 만드는 평행사변형을 얻습니다. 밑변 길이 2·높이 3이므로 넓이는 6입니다.

행렬이 회전·기울임·크기 변경을 함께 표현해도 최종 면적 비율은 det의 절댓값으로 읽을 수 있습니다. det가 음수라고 넓이가 음수인 것은 아닙니다. 기준 방향과 비교해 뒤집혔다는 정보가 부호에 들어 있습니다.

3차원에서 대각행렬 diag(2,3,4)는 축마다 크기를 바꾸므로 부피가 24배가 됩니다. 3×3 행렬에 2×2의 ad−bc 공식을 그대로 적용해서는 안 됩니다.

0과 역행렬

정사각행렬에서 det=0이면 열들이 독립이지 않아 전체 차원의 부피가 0으로 붕괴합니다. 평면을 한 직선에 눌러 보내면 원래 면적은 사라지고, 출력만으로 모든 입력을 유일하게 되돌릴 수 없습니다.

B = [ 1  2 ]      det(B)=0
    [ 2  4 ]

두 열 (1,2), (2,4)는 같은 직선 위
→ 2차원 넓이가 0

이 가역성의 경계는 역행렬과 연결됩니다. 직사각행렬에 같은 의미의 일반 행렬식을 정의해 사용하지 않습니다. 그 경우 크기 변화와 계수는 SVD 등으로 봅니다.

계산 규칙

소거법으로 삼각형을 만든 뒤 대각 성분을 곱할 수 있지만 행 교환과 행의 배수 조정도 추적해야 합니다. n×n 행렬 전체를 k배하면 한 행만이 아니라 n개 행이 모두 바뀌므로 행렬식은 kⁿ배입니다.

그래픽스와 수치 경계

선형 변환의 음수 determinant는 기준 축의 방향이 뒤집혔음을 나타냅니다. 음수 스케일이 포함된 모델에서는 법선·탄젠트·컬링 규약을 함께 확인합니다. 화면의 앞면 판정은 최종 좌표 변환과 렌더링 규칙까지 포함하므로 모델의 det 부호 하나만으로 모든 화면 결과를 대신 판정하지 않습니다.

작은 determinant가 곧 불안정하다는 뜻은 아닙니다. 10⁻⁶ I₂의 determinant는 10⁻¹²이지만 모든 방향을 같은 비율로 줄이므로 상대적인 민감도는 작을 수 있습니다. 반대로 한 방향만 심하게 눌리는 변환은 입력 오차를 크게 확대할 수 있습니다. 이 차이는 조건수에서 다룹니다.

det가 1 또는 -1인 직교변환의 차이는 회전·반사, 선도 부분행렬식으로 정부호를 판정하는 조건은 양의 정부호에 있습니다.