b₁=(1,0), b₂=(1,1), x=(3,2)

x = 1b₁ + 2b₂
  = (1,0) + (2,2) = (3,2)

표준 기저에서의 좌표: (3,2)
B=(b₁,b₂)에서의 좌표: [x]B=(1,2)

기저가 되기 위한 조건

벡터들의 모든 선형결합으로 만들 수 있는 범위를 생성 공간(span)이라고 합니다. 기저는 목표 공간을 모두 생성하면서 선형독립이어야 합니다. 선형독립은 계수 조합으로 영벡터를 만드는 방법이 모든 계수를 0으로 두는 경우뿐이라는 뜻입니다.

2차원 전체의 기저에는 평행하지 않은 벡터 두 개가 필요합니다. (1,0)과 (2,0)은 x축 위의 벡터만 만들 수 있어 평면 전체의 기저가 아닙니다. (1,0)과 (1,1)은 수직이 아니지만 평면의 기저입니다. 수직·단위 길이는 기저의 필수 조건이 아닙니다.

공간의 차원은 기저 벡터 개수입니다. 벡터의 성분 수와 부분공간의 차원은 구분합니다. 3차원 좌표로 표현된 원점을 지나는 평면은 벡터 성분이 세 개여도 차원이 2입니다.

기저 벡터를 열로 놓기

열벡터 표기를 사용하면 기저 벡터를 열로 모은 행렬 P가 새 좌표를 표준 좌표로 바꿉니다. 행렬 계산 방법은 행렬과 곱셈에 있습니다.

P = [ 1  1 ]      [x]B = [ 1 ]
    [ 0  1 ]             [ 2 ]

x = P[x]B = [ 1×1 + 1×2 ] = [ 3 ]
            [ 0×1 + 1×2 ]   [ 2 ]

반대로 표준 좌표 x에서 B 좌표를 얻으려면 P의 역변환을 사용합니다. 여기서는 x₁ = c₁+c₂, x₂ = c₂를 풀어 c₂=2, c₁=1을 얻습니다. 즉 [x]B=P⁻¹x입니다. 기저가 아니면 이 왕복이 모든 벡터에 대해 유일하게 성립하지 않습니다.

표현 변경과 실제 변환

기저 변경은 같은 벡터를 다른 숫자로 표현하는 일입니다. 반면 고정된 기저에서 y=Ax는 벡터 자체를 회전·크기 변경·기울임 등으로 바꾸는 선형변환일 수 있습니다. 같은 행렬 곱 모양이라도 입력과 출력이 무엇을 뜻하는지 밝혀야 합니다.

그래픽스의 local/world 좌표를 생각할 때도 “같은 점의 다른 표현인가, 실제로 변환한 결과인가”를 구분합니다. 점을 다룰 때는 기준 축뿐 아니라 원점도 필요합니다. 벡터의 기저 변환에 원점 이동까지 무조건 넣지 않습니다.

기울어진 기저에서 길이

예제의 실제 벡터 x는 표준 좌표 (3,2)이므로 길이가 √13입니다. 새 좌표 (1,2)의 성분 제곱합은 5이고 그 제곱근은 √5입니다. 이 √5를 실제 길이라고 읽으면 틀립니다. 성분 제곱합의 제곱근으로 길이를 구하는 공식은 정규직교 기저를 전제로 합니다.

기울어진 기저에서는 먼저 P로 표준 좌표를 얻어 길이를 계산하거나, 그 기저의 내적 정보를 반영해야 합니다. 정규직교 기저를 자주 쓰는 이유는 이처럼 길이·각도 계산이 단순해지기 때문입니다.

좌표 공간의 그래픽스 용어는 Graphics 좌표 공간, 역변환 조건은 역행렬에 연결됩니다.

기저를 판정하는 식은 생성 공간·선형독립, 같은 선형변환의 행렬 표현까지 바꾸는 과정은 기저변환과 닮음에서 이어집니다.