A = [ 1  0  1 ]
    [ 0  1  1 ]

A(x,y,z) = (x+z, y+z)
rank(A) = 2
null(A) = span{(-1,-1,1)},  nullity(A)=1

2 + 1 = 3  [입력 차원]

부분공간의 조건

부분공간은 영벡터를 포함하고 덧셈·스칼라 곱에 닫힌 벡터 집합입니다. x+y+z=0인 평면은 두 점을 벡터로 더하거나 실수배해도 같은 식을 만족합니다. x+y+z=1인 평면은 원점을 포함하지 않아 선형 부분공간이 아닙니다.

그래픽스에서 원점에서 떨어진 평면도 다루지만, 이는 점 하나와 방향 부분공간을 합친 아핀 표현으로 구분합니다. “평면”이라는 모양만으로 선형 부분공간이라고 부르지 않습니다.

가능한 출력과 사라지는 입력

예제 A의 첫 두 열 (1,0)·(0,1)만으로 모든 2차원 출력을 만들 수 있습니다. 따라서 열공간은 R²이고 계수는 2입니다. 세 번째 열은 앞의 두 열의 합이라 새 방향을 추가하지 않습니다.

Ax=0을 풀면 x+z=0, y+z=0이므로 (x,y,z)=t(-1,-1,1)입니다. 이 방향으로 입력을 바꾸어도 출력은 같게 남습니다.

A(2,3,0) = (2,3)
A(1,2,1) = (2,3)

(1,2,1) - (2,3,0) = (-1,-1,1) ∈ null(A)

출력 b를 하나 정했을 때 해가 존재한다면 모든 해는 특정 해 x₀에 영공간 벡터를 더한 형태입니다. 그래픽스 변환에서 한 축을 없애면 복원 정보가 부족해지는 현상과 같은 구조입니다.

네 공간과 차원

실수의 표준 내적에서 행공간은 영공간에 수직이고 열공간은 왼쪽 영공간에 수직입니다. m과 n을 바꾸어 계수-영차원 관계를 쓰지 않습니다.

기저를 뽑을 때

행 소거로 피벗 열의 위치를 찾은 뒤 원래 A의 해당 열을 가져오면 열공간의 기저가 됩니다. 소거한 행렬의 피벗 열은 소거된 행렬의 열공간에 대한 기저입니다. 원래 A의 열공간 기저를 구하려면 같은 위치의 원래 열을 가져와야 합니다. 행 연산은 해의 관계를 보존하지만 원래 열공간 자체를 일반적으로 보존하지 않습니다.

계수를 단순히 0이 아닌 열의 개수로 세지 않습니다. 중복 열이나 다른 열의 조합인 열은 차원을 늘리지 않습니다. 소거법으로 관계를 찾고, 수치적인 거의 종속 판정은 조건수로 연결합니다.