x + y = 3       [ 1  1 | 3 ]
2x - y = 0  →  [ 2 -1 | 0 ]

R₂ ← R₂ - 2R₁  → [ 1  1 |  3 ]
                  [ 0 -3 | -6 ]

R₂ ← R₂/(-3)   → y=2
R₁ ← R₁-R₂     → x=1

해를 바꾸지 않는 연산

한 식에 다른 식의 배수를 더한 결과로 그 식을 대체하되, 나머지 식은 유지합니다. 이렇게 얻은 연립방정식은 원래 모든 식을 동시에 만족하는 해를 보존해야 합니다. 이를 보장하는 기본 행 연산은 행 교환, 0이 아닌 수로 행 전체 곱하기, 다른 행의 배수를 한 행에 더하기입니다.

우변을 제외하고 계수만 바꾸면 다른 문제를 풀게 됩니다. 한 행에 0을 곱해 식을 없애는 것도 동등한 행 연산이 아닙니다. R₂←R₂−2R₁은 두 행이 같다는 등식이 아니라 둘째 행을 갱신한다는 표기입니다.

위 예제의 마지막 확대행렬은 [[1,0|1],[0,1|2]]이고, 원래 식에 x=1·y=2를 넣으면 3과 0을 얻습니다. 연산의 목적은 큰 행렬을 만드는 것이 아니라 미지수 사이의 관계를 쉽게 읽는 것입니다.

피벗과 자유변수

행 사다리꼴에서는 0인 행을 아래로 보내고, 각 행의 첫 0이 아닌 성분인 피벗이 아래 행으로 갈수록 오른쪽에 오게 합니다. 피벗 아래는 0입니다. 축약 행 사다리꼴은 피벗이 1이고 그 열의 다른 성분도 0이어서 해를 더 직접 읽을 수 있습니다.

이 표는 실수 해를 다룹니다. 행 개수와 미지수 개수만 보고 해의 개수를 결정하지 않습니다. 식이 많아도 중복될 수 있고, 식이 적어도 서로 모순될 수 있습니다.

자유변수와 모순 예제

x + 2y = 3
2x + 4y = 6

둘째 식 - 2×첫째 식 → 0=0
해: y=t, x=3-2t   (t는 임의의 실수)

둘째 우변을 7로 바꾸면 같은 연산으로 0=1이 되어 해가 없습니다. 둘 다 계수행렬은 같지만 우변과의 관계가 다릅니다. 정확한 조건은 rank(A)=rank([A|b])일 때 해가 존재하며, 그 값이 미지수 개수 n과 같으면 유일해입니다.

계산과 그래픽스 연결

부동소수점에서는 아주 작은 피벗으로 나누면 오차가 커질 수 있어 행을 교환하는 피벗 선택을 사용합니다. 정확한 수학의 0 판정과 수치적 허용오차를 구분합니다. 실제 수치 풀이에서는 목적에 맞는 라이브러리의 선형계 풀이를 쓰고, 손 계산용 소거 절차를 무조건 직접 구현하지 않습니다.

기저의 좌표 계수를 구하는 문제도 선형계이며 기저와 좌표로 연결됩니다. 정확히 맞는 해가 없는 측정 자료는 최소제곱, 민감한 계산은 조건수를 확인합니다.

소거 결과를 재사용해 같은 A의 여러 우변을 푸는 과정은 LU 분해에서 다룹니다.