A = [ 2  1 ]
    [ 1  2 ]

A(1,1)  = (3,3)  = 3(1,1)    → λ=3
A(1,-1) = (1,-1) = 1(1,-1)   → λ=1

특별한 방향이 필요한 이유

일반 벡터는 A를 곱하면 방향과 길이가 함께 바뀝니다. 고유벡터 방향에서는 스칼라 배만 읽으면 되므로 반복 변환·주축·진동·선형 모델의 거동을 단순하게 볼 수 있습니다.

v가 고유벡터이면 0이 아닌 실수 c에 대해 cv도 같은 고유값의 고유벡터입니다. 벡터 하나의 길이가 유일하게 정해지는 것이 아니라 해당 방향 또는 고유공간이 중요합니다. 0벡터는 모든 λ에 대해 A0=λ0이므로 고유벡터에서 제외합니다.

고유값 계산

Av=λv는 (A−λI)v=0입니다. 0이 아닌 해를 가지려면 정사각행렬 A−λI가 특이해야 하므로 특성방정식 det(A−λI)=0을 풉니다.

det(A−λI) = (2−λ)² − 1
          = λ² − 4λ + 3
          = (λ−3)(λ−1)

λ=3: -x+y=0 → v=t(1,1)
λ=1:  x+y=0 → v=t(1,-1)

각 고유공간은 t=0도 포함하지만, 그중 고유벡터를 고를 때는 t≠0으로 둡니다. 고유값을 구한 뒤 (A−λI)v=0을 풀어 벡터 조건까지 확인해야 합니다.

크기·부호·0

이 표는 고유방향의 동작입니다. 일반 벡터의 길이가 모든 방향에서 λ배가 된다는 뜻은 아닙니다. 모든 방향의 늘어남을 직교 축으로 분석하려면 SVD를 비교합니다.

실수 범위와 대각화

실수 행렬이라고 실수 고유벡터를 충분히 갖는 것은 아닙니다. 2차원 90° 회전 [[0,-1],[1,0]]은 det(A−λI)=λ²+1이어서 실수 고유값이 없습니다. 복소수 범위에서의 해와 실수 방향의 해를 구분합니다.

실수 대칭행렬은 항상 실수 고유값과 정규직교 고유기저를 가지며 직교 대각화할 수 있습니다. 일반 행렬에서는 독립인 고유벡터 개수를 따져야 하며, 고유값이 나온 것만으로 대각화를 보장하지 않습니다.

그래픽스에서 공분산의 주축이나 변형의 방향을 해석할 때 고유구조가 나타납니다. 원점에서 떨어진 점의 평행이동 자체를 Av=λv의 선형 문제와 같은 것으로 취급하지 않습니다.

실수 대칭행렬의 고유벡터가 직교하는 이유는 대칭행렬과 직교 고유분해, 실수 방향이 없는 회전의 해석은 복소수 고유값에 있습니다.